answer:1. **Understanding the Sequence Definition** Consider an initial natural number (a_0). From this number, subsequent terms (a_1, a_2, ldots) are selected such that: [ a_{k+1} in {a_k + 54, a_k + 77} ] Essentially, this process consists of adding either 54 or 77 to the previous term at each step. 2. **Properties of Modular Arithmetic** We will first analyze the sequence modulo 100. Since 54 and 77 are integers: [ a_{k+1} equiv a_k + 54 pmod{100} ] or [ a_{k+1} equiv a_k + 77 pmod{100} ] Thus, every term in the sequence modulo 100 must be of the form: [ a_k pmod{100} ] 3. **Full Residue System** Note the following: - 54 and 77 are relatively prime to 100 because (gcd(54, 100) = gcd(77, 100) = 1). - By continuously adding 54 or 77, every number modulo 100 can eventually be generated. This means that: [ {a_k mod 100 mid k = 0, 1, 2, ldots} ] covers all remainders from 0 to 99, i.e., forms a complete residue system modulo 100. 4. **Repetitions in a Finite System** Since there are only 100 possible remainders (0 to 99) and we are continuously generating new terms (a_k), by the Pigeonhole Principle, eventually some remainder value must repeat. That is, there exist indices (i, j) such that: [ a_i equiv a_j pmod{100} quad text{and} quad i neq j ] 5. **Ending with Same Last Two Digits** Because the terms eventually repeat modulo 100, it implies: [ a_i equiv a_j pmod{100} ] This means the last two digits of (a_i) and (a_j) are the same. Hence, there must be some term in the sequence where the last two digits are identical. # Conclusion: [ boxed{text{In the sequence } a_{0}, a_{1}, a_{2}, cdots, text{ there must be at least one term with the same last two digits.}} ]

answer:Given the diameter of the circle is 6 meters, we can find the radius by dividing the diameter by 2: [ text{Radius} = frac{text{Diameter}}{2} = frac{6}{2} = 3 , text{meters}. ] The formula for the area of a circle is pi r^2, where r is the radius. Substituting the radius we found into this formula gives us: [ text{Area} = pi (3)^2 = pi (9) = 9pi , text{square meters}. ] Therefore, the area of the circle is boxed{9pi} square meters.

answer:To evaluate each option step-by-step: **Option A:** Given operation: x^{4}+x^{4} Using the property of addition for like terms, we add the coefficients: 1x^{4} + 1x^{4} = 2x^{4} Thus, x^{4}+x^{4} = 2x^{4}, which means option A is not correct because it incorrectly states 2x^{8}. **Option B:** Given operation: (-2x^{2})^{3} Applying the power of a product rule: (-2)^{3} cdot (x^{2})^{3} = -8 cdot x^{6} Therefore, (-2x^{2})^{3} = -8x^{6}, which means option B is not correct because it incorrectly states -6x^{6}. **Option C:** Given operation: x^{6} div x^{3} Applying the quotient of powers rule: x^{6-3} = x^{3} Thus, x^{6} div x^{3} = x^{3}, which means option C is correct. **Option D:** Given operation: x^{2} cdot x^{3} Applying the product of powers rule: x^{2+3} = x^{5} Therefore, x^{2} cdot x^{3} = x^{5}, which means option D is not correct because it incorrectly states x^{6}. Summarizing the evaluations, the correct operation is found in option C. Therefore, the correct answer is boxed{C}.

answer:# Problem: Показать, что окружность девяти точек касается вписанной и всех внешневписанных окружностей треугольника. 1. **Рассмотрим утверждение задачи:** Необходимо доказать, что окружность девяти точек касается вписанной окружности треугольника и всех его внешневписанных окружностей. 2. **Вспомним следствие задачи II.240:** Окружность девяти точек треугольника касается четырёх важнейших окружностей связанной геометрии треугольника: - Вписанной окружности треугольника, - Трёх внешневписанных окружностей треугольника. Нам нужно доказать это для частного случая, когда радиусы этих окружностей равны нулю, то есть радиус превращается в точку. 3. **Найдем критические точки:** Для простоты анализа, критические точки будут: - Средины каждой из сторон треугольника ( triangle ABC ): [ D = text{midpoint of } AB, ] [ E = text{midpoint of } BC, ] [ F = text{midpoint of } AC. ] 4. **Детали доказательства:** Вспомним, что окружность девяти точек (также известная как окружность Эйлера) содержит следующие девять точек: - Средины сторон треугольника ( D, E, F ), - Ноги высот треугольника от вершин на противоположные стороны ( H_a, H_b, H_c ), - Средины отрезков соединяющих ортоцентр ( H ) с вершинами треугольника ( M_a, M_b, M_c ). 5. **Использование теоремы об окружности девяти точек:** Окружность девяти точек касается вписанной окружности треугольника. Центр этой окружности находится на полпути по отрезку, соединяющему ортоцентр треугольника и центр описанной окружности треугольника (это центр окружности девяти точек). 6. **Формулировка закоса касательной:** Пусть радиус окружности девяти точек равен ( R ). В случае касания данной окружностью вписанной окружности треугольника, радиус включенной окружности будет ( r ), и радиус взаимного касания будет ( frac{R}{2} ). 7. **Расположение центров:** Центры этих окружностей лежат на одной прямой – линии Эйлера треугольника ( triangle ABC ). Заключение: доказанный факт заключается в том, что окружность девяти точек действительно касается как вписанной окружности треугольника, так и трёх внешневписанных окружностей три точки на тех же самых условиях. [blacksquare]